3. Кут між двома прямими. Нехай прямі , утворюють з віссю абсцис кути , . Кутом між прямими , будемо називати будь-який з двох можливих кутів, які утворюють між собою ці прямі, наприклад, кут . Тоді.Якщо відомо кутові коефіцієнти , прямих , відповідно, то . (14)
4.Умови паралельності двох прямих. Два вектори та колінеарні тоді і лише тоді, коли існує таке ненульове число , що . Якщо , , то векторна рівність рівносильна системі скалярних рівностейЗвідси два вектори колінеарні тоді і лише тоді, коли їх координати пропорційні.Твердження 1. Дві прямі , , задані , відповідно, паралельні тоді і лише тоді, коли.Доведення. , . Прямі , паралельні тоді і лише тоді, коли їх нормалі , колінеарні. Оскільки два вектори колінеарні тоді і лише тоді, коли їх відповідні координати пропорційні, то.
Твердження 2. Якщо прямі , задано , відповідно, то прямі , паралельні тоді і лише тоді, коли .Доведення. Прямі , паралельні тоді і лише тоді, коли кут між ними дорівнює 0, що можливо лише тоді, коли . Тоді з рівності (14) дістаємо, що .
5. Умови перпендикулярності двох прямих. Твердження 3. Прямі , , задані загальними рівняннями, взаємно перпендикулярні тоді і лише тоді, коли .Доведення. Прямі , взаємно перпендикулярні тоді і лише тоді, коли взаємно перпендикулярні їх нормалі та , при умові, що , .Твердження 4. Дві прямі , , задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом, взаємно перпендикулярні тоді і лише тоді, коли .Доведення. Прямі , перпендикулярні тоді і лише тоді, коли кут між ними прямий, , тобто , що, на підставі рівності (14), можливо лише тоді, коли . Звідси, .
6. Жмуток прямих. Множина прямих, які лежать в одній площині і кожна з яких проходить через фіксовану, називається жмутком прямих, а називається центром жмутка. Нехай проходить через і має рівняння. (15)Якщо та є змінними параметрами, то (15) задає множину прямих, кожна з яких проходить через.
Парою прямих. Справді, нехай прямі , , визначені загальними рівняннями , відповідно, належать жмуткові з центром у точці . Тоді.Звідси, будь-яка пряма з множини прямих, що визначається рівнянням, (16)де – довільні числа, проходить через центр жмутка і тому належить жмуткові.ьПоділимо обидві частини рівняння (16) на і . Тоді (16) має вигляд.
8. Зведення загального рівняння прямої до нормального вигляду. Якщо пряму задано ,то для знаходження її нормального рівняння досить перейти від до . Для цього помножимо рівняння прямої на нормувальний такий, щоб дістати одиничну нормаль:.З умови маємо,звідки .Щоб забезпечити умову , знак нормувального множника слід брати протилежним до знака вільного члена .
1. Рівняння площини.Позначимо через радіус-вектор точки , а через – радіус-вектор змінної , яка належить площині . Оскільки координати точки є одночасно координатами її радіуса-вектора, то , . Тоді вектор лежить у площині , тому і взаємно перпендикулярні. Звідси. (20)Рівняння (20) називається векторним рівнянням площини . Враховуючи, що скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків однойменних координат цих векторів, то з (20) дістаємо рівняння, (21)
яке називається рівнянням площини, що проходить через задану точку. Позначивши , з (21) дістаємо загальне рівняння площини. (22)Якщо в рівності (22) , то,або, . (23)Це рівняння площини у відрізках. Тут – відрізки, які площина відтинає по осях координат: – по осі абсцис, – по осі ординат і – по осі аплікат. Нехай площина проходить через точку , паралельно до пари неколінеарних векторів , . Тоді для кожної змінної площини вектор можна єдиним чином подати у вигляді лінійної комбінації векторів , :. (24)Величини , називаються параметрами, а рівняння (24) називається векторно-параметричним рівнянням площини.
Векторне рівняння (24) рівносильне трьом скалярним рівностям(25які називаються параметричними рівняннями площини.Оскільки вектори , , компланарні, то. (26)Якщо, площи...
